Corona-Reproduktionszahl steigt weiter

Von Jürgen Fritz, Mo. 11. Mai 2020, Titelbild: Statista-Screenshot

Genau das war zu befürchten. Hier sehen wir nun ein erstes Ergebnis der Lockerungen, die bereits am dem 20. April einsetzten, und der Tatsache, dass sich immer mehr Menschen nicht mehr an die Beschränkungen halten: Die Reproduktionszahl R zeigt, wie sich das Infektionsgeschehen vor zehn bis elf Tagen gegenüber dem vier Tage zuvor veränderte. R steigt nun innerhalb von vier Tagen von 0,65 auf 1,13. Das heißt, 1.000 Infizierte steckten Ende April nicht mehr 650 weitere an, so dass die Zahl der Gesamt-Infizierten allmählich fällt, sondern sie stecken 1.130 andere an. Damit treten wir, so die Berechnungen des RKI stimmen und R über 1 bleibt, wieder in ein exponentielle Verbreitung von SARS-CoV-2 ein. Doch was genau bedeutet das?

I. Die Schwierigkeiten, das tatsächliche Geschehen zeitnah abzubilden

Der zeitliche Verlauf des aktuellen Infektionsgeschehens wäre eigentlich am besten darstellbar durch die Anzahl der täglich erfolgten Infektionen. Doch dies darzustellen, ist alles andere als leicht. Weshalb? Zum einen weil der genaue Infektionszeitpunkt in den allermeisten Fällen gar nicht bekannt und auch nicht ermittelbar ist. Bekannt ist ja oft nur, wann bei Infizierten die ersten Symptome auftreten, wann die Erkrankung bei ihnen beginnt. Die Zeit dazwischen ist die sogenannte Inkubationszeit. Diese beträgt im Schnitt 5 bis 6 Tage, kann aber auch deutlich geringer oder höher sein und zwischen 1 und 14 Tage liegen. Das heißt, manche spüren schon einen Tag nach der Ansteckung etwas, bei anderen dauert es bis zu zwei Wochen. Um die aktuelle Entwicklung der SARS-CoV-2-Epidemie darzustellen, ist somit das durchschnittlich 5 bis 6 Tage spätere Erkrankungsdatum der am besten geeignete und aus den Meldedaten zur Verfügung stehende Parameter.

Die zweite Schwierigkeit besteht nun aber darin, dass in manchen Fällen einer bestätigten SARS-CoV-2-Infektion (ganz grob ca. 20 Prozent) sich ein asymptomatischer Verlauf entwickelt, der Infizierte also gar keine Symptome spürt, so dass es nie zu einem Erkrankungsbeginn kommt. Er wird also infiziert, kann dann andere infizieren, tut das in aller Regel auch und ist irgendwann nicht mehr infektiös und dann irgendwann auch immun, ohne dass er überhaupt weiß, dass er sich das neuartige Coronavirus eingefangen und es übertragen hat. Eine dritte Schwierigkeit besteht darin, dass vom Erkrankungsbeginn bis zur Meldung an bzw. der Erfassung vom Robert Koch-Insitut RKI etliche Tage vergehen (Meldeverzug). In den meisten Fälle dauert es 5 bis 10 Tage vom Beginn der Erkrankung, die ja schon durchschnittlich 5 bis 6 Tage nach der Infektion liegt, bis zur Erfassung beim RKI, im Schnitt ca. 7 (im Median, das heißt die eine Hälfte braucht bis zu 7 Tage, die andere mind. 7 Tage).

Addieren wir beide Zeiträume, die Inkubationszeit, ca. 5 bis 6 Tage durchschnittlich (im Median), plus den Meldeverzug, ca. 5 bis 10 Tage, so kommen wir auf eine Zeitspanne von 10 bis 16 Tagen, durchschnittlich knapp zwei Wochen von der Infektion bis zur Registrierung beim RKI und dann nochmals ein Tag, bis das RKI die Zahlen veröffentlicht hat. Das heißt:

  • Es vergeht Zeit von der Infektion bis zum Auftreten der ersten Symptome (Inkubationszeit).
  • Es vergeht Zeit, bis der Betroffene einen Test machen lässt.
  • Es vergeht Zeit, bis das Ergebnis des Tests vorliegt.
  • Es vergeht Zeit, bis das positive Testergebnis dem zuständigen Gesundheitsamt übermittelt und dort erfasst wurde.
  • Es vergeht Zeit, bis das Gesundheitsamt die Daten an die zuständige Landesbehörde übermittelt und diese dort erfasst und zusammengefasst sind.
  • Es vergeht Zeit, bis alle Landesbehörden ihre Daten dem RKI übermittelt haben und diese dort er- und zusammengefasst sind und bis sie dann vom RKI veröffentlicht werden.

II. Die Auswirkung auf die Todesfallzahlen sehen wir erst nach drei bis fünf Wochen

Dieser ganze Prozess dauert wie erläutert ca. zwei Wochen. Die Zahlen, die wir dann sehen, sind also kein Blick in die Gegenwart, sondern wir blicken hier immer in die Vergangenheit. Die Auswirkungen der Maßnahmen, die heute getroffen werden, sei es eine Verschärfung der Kontakt- und Ausgangsbeschränkungen oder eine Lockerung dieser, sehen wir also in diesen Fallzahlen frühestens ab etwa zwei Wochen.

Bei den Todesfällen ist der Verzug nochmals einige Wochen größer, denn der Todeszeitpunkt tritt im Schnitt ca. zwei bis vier Wochen nach der Infektion ein. Rechnen wir hier auch wieder einen Meldeverzug von einer Woche hinzu, so kommen wir bei dieser Zahl auf insgesamt auf rund drei bis fünf Wochen. Wenn also heute jemand angesteckt wird mit SARS-CoV-2 und in drei Wochen daran stirbt, dann sehen wir das erst in vier Wochen in der Todesfallstatistik.

Man kann sich das Ganze vorstellen, wie einen riesigen Tanker auf hoher See oder wie einen gigantischen Zug mit vielen zig Waggons. Korrekturen des Kurses im Falle des Tankers, Beschleunigungen oder Bremsvorgänge bei dem Schiff oder dem Zug brauchen  einen langen Vorlauf, bis sie wirken und sichtbar werden.

III. So entwickelte sich die Reproduktionszahl die letzten Wochen

Um diese gewaltigen Zeitverzüge deutlich zu reduzieren, hat das Robert Koch-Institut mit allerhand mathematischem und statistischem Aufwand ein sogenanntes Nowcasting (Vorhersage eines gegenwärtigen Zustandes aufgrund zurückliegender, nicht aktueller oder nicht vollständiger Daten) entwickelt und erstellt so eine professionelle Schätzung des Verlaufs der Anzahl von bereits erfolgten SARS-CoV-2-Erkrankungsfällen in Deutschland unter Berücksichtigung des Diagnose-, Melde- und Übermittlungsverzugs. Wie das in etwa funktioniert, hat Michael Klein hier auf Sciencefiles erläutert.

Darauf aufbauend kann eine mathematisch-statistische Schätzberechnung der sich ständig verändernden Reproduktionszahl R durchgeführt werden. Und so sah R die letzten Wochen aus bzw. so hat sich dieser Wert bis zum 10. Mai entwickelt:

2020-05-10 (2)

Die Reproduktionszahl R, die einen Blick nicht zwei Wochen zurück wirft, sondern auf wenige Tage unmittelbar vor dem Veröffentlichtungsdatum, lag die letzten Wochen beständig im Bereich von 1 oder darunter, am 6. Mail sogar bei 0,65 stieg dann aber die letzten vier Tage kontinuierlich an auf 1,13. Doch was genau bedeutet das?

IV. Bei R = 1,13 werden nach 12 Wochen aus einer Neuinfektion 13 Neuinfektionen

Wenn R bei 0,65 liegt, so heißt dies, dass 1.000 Infizierte nur 650 andere anstecken. Bleibt R bei 0,65, so stecken diese 650 wiederum nur 423 andere an (0,65 mal 650), diese dann nur noch 275 usw. Das heißt, die Verbreitungsgeschwindigkeit des Virus nimmt immer mehr ab.

Dabei erfolgen die meisten Übertragungen des Virus zwischen Tag 3 und Tag 5 der eigenen Ansteckung. Denn nach ca. 3 Tagen werden die meisten selbst ansteckend und nach 5 Tagen merken sie meist die ersten Symptome. In diesen zwei Tagen geben sie das Virus, welches somit eine Generationszeit von 4 Tagen hat, weiter.

Wenn R dagegen über 1 liegt, so verbreitet sich das Virus immer schneller. Bei R = 1,13 stecken 1.000 Infizierte nach ca. 4 Tagen (im Median) 1.130 andere an, die dann 1,277 weitere usf. Das Ganze gestaltet sich in Bezug auf die 1.000 Infizierten und den von ihnen ausgehend anderen Angesteckten dann so:

0 Tage: 1.000
4 Tage: 1.130
8 Tage: 1.277
12 Tage: 1.443
16 Tage: 1.630
20 Tage: 1.842
24 Tage: 2.082
28 Tage: 2.353
usw.

Nach nur vier Wochen sehen wir also bei R = 1,13 in der siebten Virus-Generation bereits 2.353 Neuinfizierte, die von den ersten tausend ausgingen. Es baut sich also schon bei einem relativ kleinen Wert über 1 richtig etwas auf und das recht schnell. So sieht das dann grafisch über eine Zeitraum von 12 Wochen, also knapp 3 Monaten aus:

R-Szenarien (2)

Nach nur 84 Tagen (12 Wochen) werden nach 21 SARS-CoV-2-Generationen ausgehend von 1.000 Infizierten über 13.000 andere Personen neu infiziert plus alle die von Generation 1 bis 20, wobei die vorne dann allmählich genesen, hinten aber immer mehr dazu kommen als vorne gesunden (oder sterben), so dass sich allmählich ein Berg von Infizierten aufbaut.

V. Wichtig: das Gesamtgeschehen beobachten und zwar in seinem Verlauf

Die Reproduktionszahl alleine reicht jedoch nicht aus, um die aktuelle Lage zu beschreiben. Zumindest die absolute Zahl an Neuerkrankungen und auch die Zahl schwerer Erkrankungen müssen zusätzlich betrachtet werden um ein angemessenes Bild zu bekommen, wie auch das RKI erläutert.

Dirk Brockmann, Experte für Modellierungen von Infektionskrankheiten an der Humboldt-Universität in Berlin, betont, dass der R-Wert nur eine Schätzung und von vielen Faktoren abhängig sei. Trotzdem lasse sich aus dem Anstieg von 0,65 auf 1,1 – jetzt sogar auf 1,13 – ein Hypothese ableiten.

Der Modellierungsexperte geht davon aus, dass sich darin widerspiegelt, dass die Menschen bereits vor dem letzten Mittwoch beschlossenen Lockerungen langsam zur Normalität zurückgekehrt sind. Man treffe sich wieder etwas mehr und sei generell mehr unterwegs. Das führe zu mehr Ansteckungen, so seine Erklärung. Generell gilt, dass die Entwicklung des Infektionsgeschehens immer über einen längeren Zeitraum beobachtet werden muss. Wichtiger als einzelne Punkte des Geschehens sind die Entwicklungslinien. Die gilt es genau zu beobachten.

VI. Mathematisch-wissenschaftstheoretische Anmerkung zu dem Begriff Schätzwert

Da es öfters heißt, das RKI würde die R-Werte ja nur schätzen, dazu eine paar Anmerkungen. Eine Schätzung ist eine genäherte Bestimmung von Zahlenwerten durch a) Augenschein, b) Erfahrung oder c) statistisch-mathematische Berechnungen. Gemeint ist bei der Schätzung der Corona-Reproduktionszahl R natürlich (c). Eine statistisch-mathematische Schätzung ist eine genäherte Ermittlung (Approximation) von Zahlenwerten aufgrund anderer gegebener Werte.

Das Ergebnis einer Schätzung, sei es aus Erfahrungswerten ermittelt oder statistisch-mathematisch errechnet, ist natürlich nie exakt. Exakte Werte lassen sich eigentlich nur bei zählbaren Größen feststellen, z.B.: „In diesem Raum sind X Personen“. Jede Messung – in welchem Genauigkeitsbereich auch immer – ist dagegen mit unvermeidlichen Messungenauigkeiten behaftet, so dass man auch bei Messungen nie exakt richtige Werte erhält, sondern nur wahrscheinliche und wahrscheinlichste Werte. Daher gibt man manchmal ein Intervall an, innerhalb dessen der wahre Wert z.B. mit 95 Prozent Wahrscheinlichkeit liegt.

So macht man das auch bei statistisch-mathematischen Schätzberechnungen. Das 95%-Prädiktionsintervall für die gestrige SARS-CoV-2-Reproduktionszahl liegt zwischen 0,94 und 1,35, wobei die Wahrscheinlichkeit innerhalb dieses Intervalls nicht gleichmäßig verteilt ist, sondern der Bereich ganz dicht um 1,13 herum der wahrscheinlichste Wert ist, der nach links und rechts deutlich abnimmt.

Normalverteilung

*

Aktive Unterstützung: Jürgen Fritz Blog (JFB) ist vollkommen unabhängig und kostenfrei (keine Bezahlschranke). Es kostet allerdings Geld, Zeit und viel Arbeit, Artikel auf diesem Niveau regelmäßig und dauerhaft anbieten zu können. Wenn Sie meine Arbeit entsprechend würdigen wollen, so können Sie dies tun per klassischer Überweisung auf:

Jürgen Fritz, IBAN: DE44 5001 0060 0170 9226 04, BIC: PBNKDEFF, Verwendungszweck: JFB. Oder über PayPal  5 EUR – 10 EUR – 20 EUR – 30 EUR – 50 EUR – 100 EUR