Was ist der Unterschied zwischen einer Ziffer und einer Zahl?

Von Jürgen Fritz, Di. 07. Dez 2021, Titelbild: Repetico

Sind eine Ziffer und eine Zahl das Gleiche oder sind sie etwas Unterschiedliches? Wenn Letzteres, was unterscheidet sie? Gehören sie, wenn sie etwas Verschiedenes sind, in die gleiche Sphäre oder sind es Entitäten, die zu völlig verschiedenen Seinsebenen gehören?

Was ist eine Zahl und was ist eine Ziffer? – Das semiotische Dreieck ontologisch appliziert

So auch beim Verhältnis von Zahlen und Ziffern. Als Erstes stellt sich hier die Frage: Was ist eine Zahl und was ist eine Ziffer? Eine Ziffer ist ein Entität in der Sphäre der Symbole, der Sphäre der Zeichen, der Sphäre der Benennungen, ähnlich wie Wörter. Eine Zahl dagegen ist eine Entität (ein Seiendes) in der Sphäre der Begriffe, der objektiven Gedanken.

Am besten versteht man dies vielleicht über das semiotische Dreieck, wenn man dieses ontologisch appliziert. Gegenstand, Objekt, Ding, Referenzobjekt (in der Realität, beliebiger Ausschnitt aus der wahrnehmbaren und vorstellbaren Welt) ist im Titelbild unten rechts angeordnet, in diesem Bild hier unten links. Die Benennung, die Bezeichnung, der Term, das Symbol, das Wort (in der Sprache) sind im Titelbild unten links, hier dagegen unten rechts angeordnet. Ob links oder rechts spielt keine Rolle, wichtig ist: beide sind auf einer Höhe, denn beide bewegen sich in der Sphäre, in der ontologischen Dimension der objektiven physikalischen Welt.

Die Entität Hund ist Teil der objektiven physikalischen Welt und ebenso das Wort „Hund“, welches ausgesprochen oder als Buchstabenfolge irgendwo hingeschrieben wird. Wird das Wort „Hund“ ausgesprochen, so entstehen spezifische Schallwellen, die andere über physikalische, biologische, physiologische, also naturgesetzliche Gesetzmäßigkeiten wahrnehmen können. Wird das Wort „Hund“ irgendwo hingeschrieben, so kann dies über Lichtwellen (Photonen) ins Auge gelangen, dort entsprechend zum Gehirn weitergeleitet, verarbeitet und entschlüsselt werden. Dies alles spielt sich also zunächst einmal in der objektiven physikalischen Welt ab. Doch wie ist das mit dem Begriff „Hund“ und dem Begriff „drei“ beziehungsweise dem Begriff „Zahl“?

Verschiedene Wörter (Zeichen, Symbole) können denselben Begriff bezeichnen

Wörter setzen sich aus Buchstabenfolgen zusammen. Anders als bei Zahlen, die über Ziffern dargestellt werden, ergibt nicht jede Buchstabenfolge ein Wort. uzpencvtriuqwmn zum Beispiel ergibt kein Wort. Aber jedes Wort kann als Buchstabenfolge dargestellt werden. Die beiden Buchstabenfolgen „Mutter“ und „mother“ sind unterschiedlich, sind unterschiedliche Wörter, bezeichnen aber offenbar denselben Begriff, denselben objektiven Gedanken. Anders formuliert: die Wörter „Mutter“ und „mother“ (im biologischen Sinne) haben dieselbe Bedeutung.

Interessieren wir uns primär für die Sphäre der Symbole, der Zeichen, dann bewegen wir uns im Bereich der Semiotik (Zeichentheorie). Die Welt der Algorithmen gehört beispielsweise in diese Sphäre. Interessiert uns vor allem die Bedeutungsebene, dann bewegen wir ins im Bereich der Semantik (Bedeutungslehre). Computer kennen nur Semiotik, keine Semantik. Sie bewegen sich nur auf der Zeichenebene, der Sphäre der Symbole, der Terme, der Benennungen und Bezeichnungen. Sie kennen keine Begriffe.

Die Rechenregeln kann man rein im Bereich der Semiotik erlernen, ohne die Bedeutung der Zeichen zu verstehen

Die Rechenregeln kann man rein im Bereich Semiotik erlernen, ohne ihre Bedeutung zu verstehen,. Man bewegt sich dann rein in der Sphäre der Symbole und Zeichen und hantiert quasi wie ein Computer mit diesen. Man kann diese Regeln erlernen, ohne zu verstehen, was genau die Symbole eigentlich bedeuten, ohne ihren Sinn zu erfassen oder ohne zu verstehen, warum diese Regeln gelten. Das ist dann irgendwie stupide und macht den meisten von uns wenig Spaß, weil dann sowohl das Verständnis dessen, was man tut, fehlt als auch der Bezug zur Realität.

Man kann umgekehrt den Sinn der Zeichen, ihre Semantik, erfassen, ohne dass man die Rechenregeln kennt. Wer beides zugleich kann beziehungsweise erfasst hat, der kann rechnen und versteht, warum die Rechenregeln so sind und nicht anders. Wer über den Zusammenhang reflektiert und ihn korrekt erfasst hat, der weiß quasi, was er tut, wenn er rechnet. Dem ist der Zusammenhang zwischen der Zeichenebene und der Begriffsebene klar.

Wer die Rechenregeln auf die physikalische Realität, die Sphäre der Dinge, der materiellen Objekte anwenden (applizieren) kann, der kann damit in der Wirklichkeit Probleme lösen, zum Beispiel ausrechnen, wie viel Teppichboden er bestellen muss oder wie man eine Brücke konstruieren muss, damit sie möglichst stabil bleibt, ohne dabei unnötig viel Material zu benutzen.

Drei verschieden objektive Sphären: die der materiellen Gegenstände, die der Zeichen, Symbole und Wörter und die der Begriffe, der objektiven Gedanken

Wir haben also drei verschiedene Bereiche: 1. die Sphäre der Dinge, Objekte und Sachverhalte in der physikalischen Welt, die materiell-physische Wirklichkeit, die Realität (im Bild unten links oder rechts, je nach Anordnung); 2. die Sphäre der Zeichen und Symbole, der Wörter und Benennungen (im Bild unten rechts oder links).

Diese beiden Sphären gehören beide in die ontologische Dimension der objektiven physikalischen Welt. Daher sind sie auf einer Linie, auf einer Ebene angeordnet. Ausgesprochene Wörter kann man hören, hingeschriebene oder gedruckte Zeichen kann man sehen. Durch das Aussprechen, Hinschreiben oder Drucken wird die materielle Welt verändert, es entsteht Schall oder das Papier verändert sich, auf das wir etwas schreiben.

Und dann haben wir 3. die Sphäre der Begriffe, der objektiven Gedanken (in den beiden Bildern jeweils oben angeordnet auf einer höheren Ebene). Und diese Sphäre ist etwas zutiefst Geheimnisvolles. Denn das, was durch das Wort „Hund“ bezeichnet wird, ist ja nicht ein einzelner Hund in der materiellen Welt, sondern etwas nicht Greifbares, nämlich quasi die Menge aller Hunde in der Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft. Und das, was durch das Wort „Drei“ oder „Zahl“ bezeichnet wird, ist noch weniger greifbar. Man könnte im ersten Anlauf sagen, diese Worte „Hund“, „Drei“ und „Zahl“ bezeichnen die Mächtigkeit von Mengen realer Dinge.

Begriffe bilden eine eigenständige ontologische, eine objektive, geistige Dimension

Um aber die Menge aller Hunde bilden zu können, braucht es ja bereits den Begriff „Hund“, denn wie sonst sollte entschieden werden, ob ein Ding ein Hund ist oder nicht, ob eine Entität zu der Menge gehört oder ob sie nicht zu ihr gehört. Über Begriffe wird die Welt also gleichsam geordnet, in dem verschiedene Dinge, die unter sich jeweils verschiedene Grade der Ähnlichkeit aufweisen, zu Mengen zusammengefasst werden, die dann mit einem Namen benannt werden, zum Beispiel Hunde, Bäume, Menschen, Verkehrsschilder, Häuser usw. Dadurch kommt es zu Klasseneinteilungen in der Welt der Dinge. Ein Begriff ist also eine Klasse, ein gedankliches Konzept.

Begriffe bilden dabei eine eigenständige ontologische Dimension und zwar anders als die Dimension der mentalen Bewusstseinsinhalte (Empfindungen, Gefühle, Gedanken, Überzeugungen etc.) keine subjektive, sondern eine dritte objektive, geistige Dimension. Denn bei einem Begriff geht es nicht darum, was im Gehirn eines einzelnen Menschen vor sich geht, wenn er ein Begriffswort benutzt oder hört, wenn er es in seinem subjektiven Geist denkt, – das wäre die objektive physikalische Dimension -, und es geht auch nicht darum, was er fühlt, wenn er dieses Begriffswort denkt, und welche Vorstellungen und Assoziationen dies in seinem Bewusstsein auslöst – das wäre die subjektive psychische oder mentale Dimension -, sondern es geht darum, was unter diesen Begriff fällt und was nicht und wie die unterschiedlichen Begriffe zusammenhängen, so zum Beispiel die Begriffe „Korrelation“ und „Kausalität“ oder die Begriffe „Moral“, „Ethik“ und „Metaethik“.

Der subjektive Geist hat Zugang zu allen diesen drei Sphären der Gegenstände, der Zeichen und der Begriffe

Das jeweilige Begriffswort spielt dabei keine entscheidende Rolle. Ob eine Entität mit „Mutter“, „mother“, „Mère“ oder mit „Μητέρα“ bezeichnet wird, spielt für das, was bezeichnet wird, keine essentielle Rolle. Und es mag auch Personen geben, die über bestimmte Begriffe in ihrem subjektiven Geist nicht verfügen, die das nicht kennen, was mit „Mutter“ oder „Kausalität“ oder „Ethik“ oder „Zahl“ bezeichnet wird. Gleichwohl gibt es aber ja diese Phänomene des Mutter-seins, der kausalen Zusammenhänge zwischen Vorgängen in der Natur, der ethischen Reflexion und der Mächtigkeit von Mengen in der objektiven Realität respektive gleichwohl gibt es ja diese Phänomene in der objektiven geistigen Welt. Deswegen ergibt es auch das Phänomen, dass einzelne Individuen den Sinn von Begriffswörtern nicht korrekt erfassen, sprich den Begriff in ihrem subjektiven Geist nicht korrekt bilden. So wird zum Beispiel Ethik oft mit Moral verwechselt oder eine Zahl mit einer Ziffer. Dies sind aber objektiv verschiedene Dinge, egal welchen Namen man ihnen gibt.

Dabei gilt: der subjektive Geist hat Zugang zu allen diesen drei Sphären. Er kann die Gegenstände in der physikalisch-materiellen Welt direkt wahrnehmen, er kann ebenso die Zeichen und Symbole direkt wahrnehmen. Die objektiven Begriffe, die geistigen Konzepte kann er dagegen nicht direkt wahrnehmen, sie muss er anders erlenen und bilden.

Jede Zahl ist ein abstraktes Einzelding, jede Zahlenmenge ist ein abstraktes allgemeines Ding (Universalie)

Was ist nun das Wesen einer Zahl? Jede Zahl ist einmalig. Ontologisch gesprochen: Jede Zahl für sich, zum Beispiel die Drei, ist ein abstraktes Einzelding, kein allgemeines Ding, keine Universalie. Ein konkretes Einzelding wäre zum Beispiel mein Schreibtisch, vor dem ich gerade sitze, oder ein konkreter, einmaliger Mensch. Einzeldinge kommen nur einmal vor. Sie sind also keine Mengen beziehungsweise wenn man sie als Mengen beschreiben möchte, dann sind es stets Mengen mit der Mächtigkeit von genau einem Element. Konkrete Einzeldinge, zum Beispiel ein bestimmter Mensch oder mein Schreibtisch, sind grundsätzlich wahrnehmbar und nehmen immer eine bestimmte Position in Raum und Zeit ein. Das kann die Zahl drei offensichtlich nicht. Drei hat keine einmalige Position in Raum und Zeit. Sie ist daher abstrakt. Aber es gibt nur eine drei. Daher ist die Drei ein Einzelding.

Der Begriff „Zahl“ dagegen ist kein Einzelding, sondern ein allgemeines, eine Universalie, denn es gibt ja viele Zahlen, so wie es viele Menschen oder viele Bäume, viele Gedanken gibt. Zahlen, Menschen, Bäume und Gedanken sind also allgemeine Dinge (Universalien), wobei Menschen und Bäume konkrete Universalien sind (Mengen von Elementen, die grundsätzlich wahrnehmbar und mit einer bestimmten Position in Raum und Zeit), während Gedanken und Zahlen abstrakte Universalien sind (Mengen von Elementen, die nicht wahrnehmbar sind, die keine bestimmte Position in Raum und Zeit einnehmen).

Konkrete und abstrakte Entitäten

Abstraktes Ding bedeutet insbesondere: a) zeitlos und unveränderlich (nicht dem naturgesetzlichen Werden und Vergehen unterworfen) und b) nicht wahrnehmbar. Auf ein abstraktes Ding, zum Beispiel das Gravitationsgesetz (abstraktes Einzelding, weil es ja nur ein Gravitationsgesetz gibt) oder auf den Begriff Naturgesetze (abstrakte Universalie, weil es ja viele Naturgesetze gibt) kann man nicht mit dem Finger zeigen und sagen: „Das ist das Gravitationsgesetz“ bzw. „Das ist ein Naturgesetz“. Dem anderen wäre meist überhaupt nicht klar, worauf wir zeigen.

Ein konkretes Ding kann man meist anfassen, sofern es nicht zu weit weg ist, wie zum Beispiel der Mond. Aber grundsätzlich könnte man den Mond schon anfassen, weil er ein konkretes Ding mit einer bestimmten Position in Raum und Zeit ist. Eine Zahl kann man nicht anfassen, sie ist abstrakt. Aber sie ist ein Einzelding, kein allgemeines, weil jede Zahl einmalig ist. Die Menge der natürlichen oder der ganzen oder der rationalen (Bruchzahlen), der reellen (auch solche, die nicht als Bruch darstellbar sind, wie z.B. die Wurzel aus 2) oder der komplexen Zahlen (auch imaginäre wie die Wurzel aus -1) sind dagegen keine Einzeldinge, sondern allgemeine Dinge, Universalien, genauer: abstrakte allgemeine Dinge.

Soweit die ontologische Einordnung, die übrigens eine Entsprechung in der Linguistik und Logik findet. Nominatoren, also singuläre Terme, wie um Beispiel Eigennamen (Immanuel Kant) oder Kennzeichnungen (der erste Baum auf der rechten Seite nach der Ortstafel, wenn man das Dorf XY über die Hauptstraße in Richtung Z verlässt) und Demonstrativpronomina (dieser Tisch hier) bezeichnen Einzeldinge und Prädikatoren (generelle Begriffe) bezeichnen Universalien, also allgemeine Dinge, so etwa der Prädikator „ist rot“ oder „ist ein Mensch“, „ist ein Tisch“ oder „ist eine natürliche Zahl“. Damit werden Mengen von Gegenständen gebildet, die alle eine Eigenschaft, zum Beispiel das Rot-sein oder das Mensch-sein gemeinsam haben.

Durch die Prädikation kommt also eine Klasseneinteilung der Gegenstände der Welt zustande. Diese werden gleichsam geordnet, so dass allgemeine gesetzesartige Zusammenhänge in der Wirklichkeit für uns erkennbar werden. Und dies ist ein schönes Beispiel für das Zusammenspiel von Ordnung der Welt und Ordnung der Gedanken sowie der Sprache. Je besser diese aufeinander abgestimmt sind, desto mehr durchschauen wir die Welt in ihrem Zusammenspiel. So können wir jetzt zum Beispiel die Nominatoren und Prädikatoren feiner unterscheiden in:

konkrete Nominatoren, wie „Immanuel Kant“ oder „dieser Baum hier“,
abstrakte Nominatoren wie „das Gravitationsgesetz“ oder „die Zahl 4“,
konkrete Prädikatoren, wie „ist rot“ oder „ist leise“ und
abstrakte Prädikatoren, wie „ist eine Naturgesetz“ oder „ist eine Oper/ein Song“ oder „ist eine Zahl“.

Zahlen können durch Ziffern ausgedrückt werden

Nun zur Frage, wie der Zusammenhang zwischen einer Zahl (objektiver Gedanke, Begriff) und einer Ziffer (Benennung, Zeichen, Symbol, sprachliche Eben) ist. Zahlen, so können wir fürs Erste sagen, können durch Ziffern ausgedrückt werden, so wie Begriffe durch Wörter als Buchstabenfolgen ausgedrückt werden können. Die Wörter „Mutter“ und „mother“ bezeichnen den gleichen Begriff, hatten wir festgestellt. Sie haben die gleiche Bedeutung.

Das heißt auch, um die dritte Sphäre mit hinzu zu nehmen: Die Menge der Dinge in der physikalischen Wirklichkeit, die mit diesen beiden Wörtern bezeichnet werden, sind gleich groß. Was im Deutschen die (biologische) „Mutter“ ist, ist im Englischen die „mother“ und umgekehrt. Jedes Element das zu der Menge gehört, die mit „(biologische) Mutter“ bezeichnet wird, gehört auch zur Menge, die mit „biological) mother“ beschrieben wird. Die beiden Mengen sind also gleich mächtig und enthalten genau dieselben Elemente. Die Wörter bezeichnen denselben Begriff. Der Begriffsumfang (Extension) ist derselbe und auch der Begriffsinhalt (die Intension) ist gleich: (biologische) Mutter = das Wesen, das die Eizelle beigetragen hat, aus der der Embryo entstanden ist.

Die großen Vorteile der Ziffernschreibweise

Wie ist das nun bei den Zahlen? Eine Zahl ist ein objektiver Gedanke, ein Begriff. Diesem identischen Begriff kann man natürlich auch verschiedene Namen geben, ihn mit verschiedenen Wörtern bezeichnen. Die Zahl drei kann man „drei“ nennen, aber auch „three“ oder „troi“ oder „τρία“ oder „3“. In den ersten vier Fällen habe ich jetzt Buchstaben aus verschiedenen Alphabeten benutzt, um diese einmalige Zahl, dieses abstrakte Einzelding zu bezeichnen, im fünften Fall habe ich eine Ziffer benutzt. Die Ziffernschreibweise hat hierbei ungemeine Vorteile. Es handelt sich bei der Ziffernschreibweise, wie wir sie heute benutzen, um eine wahrhaft geniale Erfindung, weil sie vieles enorm erleichtert.

Dabei gibt es verschiedene Ziffernsysteme. Im Zehnersystem (Dezimalsystem) gibt es zehn Zeichen (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), mit denen sich alle natürlichen Zahlen darstellen lassen. Das heißt, man braucht jetzt nicht unendliche viele völlig verschiedene Namen wie „null“, „eins“, „zwei“, „drei“, „vier“, „fünf“ …, weil es ja unendlich viele natürliche Zahlen gibt, sondern man kommt mit nur zehn Zeichen aus, die man systematisch anordnet und kombiniert. Genial.

365 bedeutet z.B. 3 x 100 + 6 x 10 + 5 x 1 = 3 x 10 hoch 2 + 6 x 10 hoch 1 + 5 x 10 hoch 0.

Würde man ein anderes System als das Dezimalsystem benutzen, so sähe die gleiche Zahl völlig anders aus, hätte einen anderen Namen, würde mit einem anderen Symbol beschrieben, wäre aber doch dieselbe Zahl. Im Zweiersystem (Binärsystem) wird aus der 13 des Dezimalsystems z.B. die 1101 (1 x 8 + 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 = 1 x 2 hoch 3 + 1 x 2 hoch 2 + 0 x 2 hoch 1 + 1 x 2 hoch 0). Je geringer der Umfang der Zeichen, die zur Verfügung stehen, desto länger werden also die Namen, hier vier Stellen statt nur zwei im Dezimalsystem. Im Zwölfersystem wäre die 13 des Zehnersystems eine 11 (1 x 12 + 1 x 1 = 1 x 12 hoch 1 + 1 x 12 hoch 0).

Je besser die gedankliche Ordnung auf die Ordnung der Wirklichkeit angepasst wird, desto besser kann die Welt verstanden werden

Fassen wir das Wichtige nochmals zusammen: Dieselbe Zahl kann verschiedene Namen haben. Sie kann mit verschiedenen Zeichen, mit unterschiedlichen Symbolen dargestellt werden. Eine Zahl ist ein Begriff, ein objektiver Gedanke, ein abstraktes Einzelding. Sie gehört in die Sphäre der objektiven Gedankenwelt. Eine Ziffer gehört dagegen in die ontologische Dimension der objektiven physikalischen Welt und hier in die Sphäre der Symbole, der Zeichen, der Benennungen, mit deren Hilfe wir objektiven Gedanken einen Namen geben.

Die objektiven Gedanken ordnen die Welt. Dies ist aus ontologisch-realistischer Sicht nur deshalb möglich, weil die Welt selbst, die Sphäre der realen Dinge ebenfalls eine Ordnung aufweist. Je besser die gedankliche Ordnung auf die Ordnung der Wirklichkeit angepasst wird, desto besser kann die Welt verstanden werden.

Unser Weltbild ist stets unterkomplex im Vergleich zu dem, was es repräsentieren soll, aber unsere innere Repräsentationen können falsch oder richtig sein

Unser Geist, der sich über die neuronalen Verbindungen in unserem Gehirn entwickelt, welches wiederum ein Produkt der Evolution der physikalischen Welt ist, welches also in den Bereich der physikalisch-materiellen Dinge gehört (links oder rechts unten im semiotischen Dreieck), bringt hierfür eine besondere Prädisposition mit, die daraus zu erklären ist, dass unser Gehirn sich eben im Laufe von Jahrmillionen evolutionär entwickelt hat. Würde unser Geist (obere Spitze im semiotischen Dreieick) – der über unserem Gehirn und seinen neuronalen Verknüpfungen superveniert, der also auf den Aktivitäten des materiellen Gehirns aufbaut und von diesem abhängig ist, ohne selbst von materieller Natur zu sein – der Ordnung der physikalischen Welt überhaupt nicht entsprechen, könnten wir uns in der Welt nicht zurechtfinden und hätten kaum überleben können.

Dabei ist die physikalische Welt aber offenbar deutlich komplexer als unser Geist das zu erfassen vermag. Wir können nicht alles verstehen und nicht alles richtig erfassen. Unser Weltbild ist also stets unterkomplex im Vergleich zu dem, was es abbilden oder besser: was es repräsentieren soll, was wir zu erfassen und zu verstehen versuchen. Aber unser Geist kann auf Grund der viel größeren Komplexität unseres Gehirns, das viel mehr neuronale Verbindungen hat als das Gehirn einer Ameise oder einer Fliege, größere Teile der Welt korrekt repräsentieren als der Geist einer Ameise, einer Fliege, auch größere Teile als der Geist eines Wals, eines Raben oder eines Schimpansen, wobei die innerhalb der Tierwelt schon ziemlich gut sind im Vergleich zu anderen Tieren. Und unsere inneren Repräsentationen der Welt können falsch (Fehlvorstellungen, Irrtümer) oder aber richtig sein.

Mit Hilfe von Zahlen kann unser Geist Teile er Welt erschließen, die ansonsten nicht zugänglich wären

Zahlen, Ziffernsysteme oder gar Reflexionen über Zahlen und Ziffern dürften aber selbst Wale, Raben und Schimpansen kaum kennen. Solche Begriffe entwickelt ihr Geist von sich aus kaum. Mit Hilfe von Zahlen kann unser Geist Teile er Welt erschließen, die ansonsten nicht zugänglich wären. In den Naturwissenschaften und auch anderen Wissenschaften, etwa der Makroökonomie, auch der Sozialwissenschaften, käme man ohne Mathematik und ohne Zahlen kaum aus.

Bereits 1623 formulierte Galileo Galilei:

„Die Philosophie steht in diesem großen Buch geschrieben, das unserem Blick ständig offen liegt [, ich meine das Universum]. Aber das Buch ist nicht zu verstehen, wenn man nicht zuvor die Sprache erlernt und sich mit den Buchstaben vertraut gemacht hat, in denen es geschrieben ist. Es ist in der Sprache der Mathematik geschrieben, und deren Buchstaben sind Kreise, Dreiecke und andere geometrische Figuren, ohne die es dem Menschen unmöglich ist, ein einziges Bild davon zu verstehen; ohne diese irrt man in einem dunklen Labyrinth herum.“

Leider hat Galilei hier den Schlüsselbegriff nicht explizit genannt: Zahlen. „Man muß messen, was messbar ist, und messbar machen, was noch nicht meßbar ist“, wird Galilei, dem Begründer der modernen empirischen Physik oft zugeschrieben. Dieser Ausspruch findet sich in seinen Schriften zwar nirgends explizit, er beschreibt aber recht genau Galileis neuartige Vorgehensweise, der Natur systematisch Fragen zu stellen und ihre Antworten zu messen, das heißt zahlenmäßig zu erfassen.

Durch die Quantifizierung der Welt kam es zu einem enormen Fortschritt im geistigen Erfassen der Welt

Damit beginnt die Quantifizierung, die quantitative Erfassung der Welt, die es ermöglichte, Naturgesetzmäßigkeiten viel genauer zu erfassen, andere ganz neu zu entdecken. Und dadurch gelingt es uns die letzten 400 Jahre, seit Entwicklung der modernen Wissenschaften, immer besser, die Welt noch genauer zu erfassen und immer tiefer zu verstehen, ohne dass wir hier einen Endpunkt erreichen könnten. Manche Rätsel werden gelöst, andere bleiben – so beispielsweise das genaue Zusammenspiel zwischen materiellem Gehirn, das den Naturgesetzen unterliegt, und unserem subjektiven Geist – und neue kommen hinzu, das dann aber oft in tieferer Durchdringung. Um sehr gute und sehr tiefgehende Fragen stellen zu können, muss man ja oft schon einiges wissen und verstanden haben. Die Fragen gehen also nie aus. Gleichwohl kann es großen Fortschritt geben, wenn wir von den Vorgängern lernen und dort weiter machen, wo sie aufhörten.

„Ich weiß nicht, wie ich der Welt erscheinen mag; aber mir selbst komme ich nur wie ein Junge vor, der am Strand spielt und sich damit vergnügt, ein noch glatteres Kieselsteinchen oder eine noch schönere Muschel als gewöhnlich zu finden, während das große Meer der Wahrheit gänzlich unerforscht vor mir liegt“,

schrieb Isaac Newton (1643-1727), der vielleicht größte und wichtigste Naturwissenschaftler von allen, der auch Bedeutendes in der Mathematik leistete, im Alter. Und zuvor schon in einem Brief an Robert Hooke 1675/76:

„Wenn ich weiter sehen konnte, so deshalb, weil ich auf den Schultern von Riesen stand.“

Zahlen unterliegen nicht den Naturgesetzen, auch nicht dem Werden und Vergehen, sie altern nicht, sondern sind zeitlos

Doch zurück zum Thema Zahlen und Ziffern und ihr Zusammenhang. Eine Zahl, so etwa die Sieben, ist also etwas Abstraktes, weil sie zwar nicht direkt wahrnehmbar und nicht an einem Punkt in Zeit und Raum lokalisierbar ist, aber sie ist einmalig. Sie kann überall in der Welt über alle Zeiten hinweg die Mächtigkeit verschiedene Mengen von Gegenständen angeben und ist doch immer die gleiche, ist immer die Sieben, egal wie auch immer man sie nennen mag, ob „Sieben“, „Seven“ „Sept“ „επτά“ oder „7“.

Und die Sieben, wie auch die Zwei und die Drei und die Vier, verändern sich nicht im Laufe der Zeit. Sie vergehen nicht, sie unterliegen nicht den Naturgesetzen, auch nicht dem Werden und Vergehen. Sie werden nicht alt und grau. Die natürlichen Zahlen sind eine abstrakte Universalie, ein abstraktes allgemeines Ding, weil es ja nicht nur eine natürliche Zahl gibt, sondern viele.

Und die natürlichen Zahlen haben direkt etwas mit der physikalischen Welt der Dinge zu tun. Denn eine natürliche Zahl beschreibt die Mächtigkeit einer Menge realer Dinge. Was haben die folgenden fünf Mengen M1, M2, M3, M4 und M5 gemeinsam?

M1 = die Menge der Kanzlerkandidaten 2021 = die Menge, bestehend aus den Elementen (Scholz, Laschet, Baerbock),
M2 = die Menge der Versuche, wie oft Friedrich Merz sich bis Ende 2021 um den CDU-Parteivorsitz bewarb,
M3 = die Menge an Personen oder Hypostasen, die Gott in der christlichen Trinitätslehre darstellt = die Menge (Vater, Sohn, heiliger Geist),
die Menge M4 = die Menge der Raumdimensionen in der klassischen Vorstellung = die Menge (Länge, Breite, Höhe),
M5 = die Menge der ontologischen Dimensionen im Weltbild von Jürgen Fritz zwischen ca. 1995 und Dezember 2021 = die Menge (objektive physikalische Dimension materieller Objekte, die den Naturgesetzen unterliegen; geistig-mentale Dimension subjektiver Bewusstseinsinhalte, wie subjektive Gedanken, Gefühle, Empfindungen, Überzeugungen etc.; Dimension der objektiven Gedanken) bzw. kurz die Menge (Physis, Psyche, Logos)?

Hier über völlig verschiedene Bereiche und bei völlig verschiedenen Dingen doch eine Gemeinsamkeit zu entdecken, nämlich dass alle diese Mengen genau aus drei Elementen bestehen, stellt eine enorme geistige Abstraktionsleistung dar. Dazu sind offenbar nur sehr wenige Wesen fähig, womöglich nur der Mensch.

Zahlen helfen, die subjektive gedankliche als auch die objektive physikalische Welt zu ordnen

Die natürlichen Zahlen (objektive Gedanken) helfen also, sowohl die subjektive gedankliche als auch die objektive physikalische Welt zu strukturieren, zu ordnen, wobei vieles dafür spricht, dass diese Ordnung in der Welt der Dinge bereits vorhanden ist und von uns gedanklich nur erkannt und nachvollzogen wird.

Die ganzen Zahlen (… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …) sind schon schwerer direkt auf die physikalische Welt anwendbar. Aber auch das geht, zum Beispiel über Mengen, wenn man Schulden mit einbezieht. Der Bauer B1 besitzt 18 Kühe, der Bauer B2 musste alle seine Kühe verkaufen und schuldet Bauer B1 noch drei Kühe. So kommen wir auf die Zahl -3. Oder wir definieren eine Temperaturskala und setzen die 0 nicht beim absoluten Nullpunkt (-273,15 Grad Celsius), bei dem es keinerlei chaotische Bewegung der Teilchen in einem Gas mehr gibt, sondern setzen den Nullpunkt am Gefrierpunkt des Wassers bei Normaldruck. So bekommen wir eine Skala mit Plus- und Minusgraden. Minuszahlen und das Rechnen mit ihnen hilft also wiederum die physikalische und soziale Welt besser zu erfassen.

Auch die rationalen Zahlen (Bruchzahlen) können wir auf die physikalische Realität übertragen, wenn wir uns vorstellen, dass eine Anzahl von homogenen Gegenständen, z.B. Pizzen oder Kuchen, in gleich große Stücke aufgeteilt werden, oder wenn Längen von Strecken in gleich lange Abschnitte unterteilt werden usw.

Zahlen sind also zunächst einmal Entitäten in der ontologischen Dimension der objektiven Gedanken, der Begriffe. Sie können sogar rein formal nur auf der Ebene der Zeichen konstruiert werden, zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen über die Peano-Axiome. Zugleich können wir dem rein formal Konstruierten aber eine Bedeutung, einen Sinn, eine Semantik beimessen. Und wir können auch den Übergang in Seinssphäre der realen, physikalischen Welt vollziehen und die Zahlen dort anwenden, um auch diese ontologische Dimension in ihren Facetten besser zu erfassen.

Manche meinen, Zahlen seien erfunden worden, andere meinen, sie wurden gefunden (mathematisch-ontologischer Realismus)

Historisch war der Weg natürlich umgekehrt. Ausgehend von der physikalischen Welt bildeten Menschen zunächst in ihrem subjektiven Geist irgendwann Zahlbegriffe. Manche meinen, so wurden Zahlen erfunden, die dann allmählich zu objektiven Gedanken wurden. Andere meinen, diese objektiven Gedanken waren schon zuvor da und die Zahlen wurden nicht erfunden, sondern entdeckt, also gefunden. Ich selbst neige, wie z.B. auch Kurt Gödel (1906-1978), zu letzterer Ansicht (mathematisch-ontologischer Realismus). Aber man kann es auch so sehen, dass die Zahlen zuvor nicht schon existent waren, erst von einzelnen Menschen entwickelt und dann erst zu objektiven Gedanken wurden, die sich vom subjektiven Geist des Einzelnen allmählich gelöst haben, indem sie von anderen übernommen und in Büchern niedergeschrieben wurden.

Fest steht, irgendwann waren die Zahlen im subjektiven Geist und dann auch als objektive Entitäten vorhanden (oder in der Reihenfolge umgekehrt), sei es weil sie konstruiert und sich dann objektiviert haben oder weil sie vom subjektiven Geist entdeckt und dann von der Gesellschaft allgemein übernommen wurden, sich mithin von dem einzelnen subjektiven Geist lösten. Später wurden sie sodann auf der Zeichen- bzw. Symbolebene formalisiert.

Computer bewegen sich über Algorithmen ausschließlich auf dieser formalisierten Ebene. Für sie haben Zahlen keine Bedeutung. Sie fragen auch nicht nach dem Wesen der Zahlen, welchen ontologischen Rang diese haben, ob sie erfunden oder entdeckt wurden. Sie formen sie einfach nach vorgegeben Regeln entsprechend um. Wir sind es, die dem Ganzen erste eine Bedeutung beimessen und das wiederum auf die physikalische Welt (rück)übertragen können.

Zahlen erschließen wie Gefühle einen Teil der Welt, der anders nicht zugänglich ist

Zahlen sind mithin, wie auch Gefühle, ein Schlüssel, um Teile der Wirklichkeit zu erschließen. Wer keine Zahlen kennt in seinem subjektiven Geist, in seiner Gedankenwelt, der kann bestimmte Teile und Zusammenhänge der Welt nicht erschließen, siehe Galileis Diktum und siehe auch die COVID-19-Pandemie, an der viele scheitern, weil ihnen die mathematischen Grundlagen und das entsprechende abstrakte Denken fehlen, insbesondere das Erfassen der Exponentialfunktion, wie auch anderer mathematischer Pandemie-Zusammenhänge.

In ähnlicher Weise können Wesen ohne Gefühle bestimmte Bereiche der Welt nicht erschließen. Die Emotion der Angst erschließt uns zum Beispiel, was für uns gefährlich, im Extremfall existenzbedrohend sein kann. Wesen ohne Angst würde sofort aussterben, weil sie Risiken kaum meiden würden. Die Emotion der Liebe erschließt das für uns besonders Wertvolle und verleiht unserem Leben überhaupt erst so richtig einen Sinn. Denn durch das Geliebte bekommen Dinge, hier im philosophisch-ontologischen Sinne, überhaut erst eine tiefe Bedeutung für uns und bekommt unsere Leben selbst eine Bedeutung. Generell sind es die Gefühle, die uns eine Evaluation, eine Bewertung überhaupt erst ermöglichen und damit für uns Wertvolles kreieren. Gefühle und Zahlen erschließen uns also jeweils einen Teil der Welt.

Ziffern sind lediglich eine Möglichkeit der Schreibweise, freilich eine geniale solche

Ziffern sind dagegen nur eine Möglichkeit der Namensgebung, der Schreibweise. Freilich eine geniale Namensgebung und Schreibweise, weil sie die Darstellung und das Rechnen immens erleichtern. Wichtig ist aber die Zahl „sieben“ von der Ziffer „7“ zu unterscheiden. Die Ziffer „7“ kommt zum Beispiel in der Zahl „17“ vor, nicht aber die Zahl „sieben“. Und 365 besteht nicht aus drei Zahlen, sondern ist eine Zahl, die mithilfe von drei Ziffern dargestellt wird. Eine Telefonnummer besteht nicht aus sechs, sieben oder acht Zahlen, sondern aus sechs bis acht Ziffern.

Jede Zahl ist ein abstraktes Einzelding, das in die Sphäre der Begriffe, der objektiven Gedanken gehört, nicht in die Seinsebene der Symbole und Zeichen. Jede Zahl gibt es nur einmal in der Welt. Aber jede natürliche Zahl beschreibt die Mächtigkeit von ganz verschiedenen Mengen realer, physikalischer Gegenstände. Die Ziffern, mit denen jede einmalige Zahl dargestellt werden kann, sind nur Namen, keine objektiven Gedanken, keine Begriffe. Aber sehr, sehr hilfreiche Namen im Vergleich zu anderen, weil sie die Systematisierung und das Rechnen enorm erleichtern.

Übrigens können wir bereits bei Platon (427-347 v.u.Z.) sinngemäß lesen:

Oder hast du schon einmal eine Zahl gesehen, mit den Augen, meine ich? Womöglich bei schummrigem Licht, oder vielleicht doch eher im hellen Sonnenschein? lch frage hier, wohlgemerkt, nach Zahlen, nicht nach Ziffern, also nicht nach Zahl-Zeichen. Hingeschriebene Ziffern kann man sehen, selbstverständlich. Oder weiter: Hast du schon einmal einen Begriff in die Hand genommen?

Zur Vertiefung

Philosophie der Mathematik als Teil der theoretischen Philosophie

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